msp;: Fundamentals and Applications”的字样。

张树文站在讲台上，背着台下的学生，快速在黑板上开始板书。

写完之后，张树文轻轻敲了敲黑板说道：“今天受杜根教授的委托，由我来跟大家深入探讨这个非常前沿的数学框架，广义模态公理体系。

我们今天的目标是掌握模态空间的基本概念、模态路径的构建，以及如何用模态距离量化复杂系统的状态变化。

那么我们从模态空间开始。设模态空间 M是一个高维几何空间，它的每一个点r代表一个系统的状态，这个点的坐标是由系统的关键参数所定义的……”

台下不止有学生，还有很多教授。事实上这也不是一节正式的课堂，而是Colloquium。

现在广义模态公理体系的研究是真的很火热。包括张树文在内很多普林斯顿的教授也都开始尝试将这种方法引入到各自的研究领域。

尤其是数论跟解析数论。

毕竟乔喻已经开了一个头。没人能拒绝将复杂的数学问题通过几何与代数的方式进行重新描述和量化。

毕竟新的视角就意味着能突破传统的方法，采取新的方法去解决那些让人恼人的问题。

张树文在这方面的优势就在于能更通畅的跟国内保持着学术层面的交流。当然，大都是纯理论这个层面的。

比如乔喻正在进行的计算工作他就不太清楚。

经过一个多小时的讲解，这节课已经接近尾声。同样的研讨课张树文准备了大概三个课时。

并不是三个课时就能让大家完全掌握整个广义模态公理体系。

单纯是因为作为一个尚在发展中的数学领域，广义模态公理体系的核心思想已经初步形成，但还缺少一个系统化、完全统一的理论框架。

更还没有编纂出相应的教科书。以目前张树文研究的深度跟广度，内容大概五、六个小时就能讲完。

“……综上所述，广义模态公理体系的核心思想，是通过将数论问题映射到高维几何空间，利用模态空间中点状态与路径演化之间的结构关系，将原本抽象的数论问题几何化、结构化，从而实现更直观的描述与量化分析。

这种方法不仅开辟了数论研究的新途径，也有望为解析数论等经典难题提供新的工具。所以，理解模态空间的基本构建只是第一步。

为了实现更复杂系统的数学描述与应用，我们还需要深入探讨如何将广义模态公理体系模块化，形成更具操作性的数学工具。这将是我们下节课的主要内容。

对于这节课的内容，大家如果有什么疑问，或者有需要探讨的想法，现在可以开始提问了。”

张树文的话音落下，很快台下就有人举起了手。

“你说。”张树文指了指台下举手的人，他认识这个年轻人，是同事彼得·萨纳克的研究生，目前主要研究L函数。

他的老师也在，不过坐在后排。

“张教授，刚刚你在讲述模态路径的时候，用的那张图，嗯，就是那个红色曲线在三维空间里的动态图。

你在展示这张图的时候提了一句，似乎在一定条件下路径的对称性跟黎曼ζ函数的零点有一定关联。我想知道这个判断准确吗？”

张树文笑了，答道：“如果我能有一个准确的判断那就不会用似乎这种不太准确的用词了。我只能说相关研究还在一个比较初级的阶段。

两者之间是否有具体的联系还需要进一步严格证明。但我们已经观察并推导出一些有趣的对称性现象。

如果要将两者完全结合起来，还有三个方向的工作要做，首先需要更精确地定义模态密度函数的性质，毫
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